Algebraiske kurver
4 timer per uge.
Indhold Løsning af et system af polynom ligninger er næste skridt
efter lineære ligninger. Hvis løsningsmængden har en frihedsgrad,
så tales der om en algebraisk kurve. Dette indbefatter linjer, keglesnit m.m.
Enhver kurve har tilknyttet en ring af polynom funktioner og mange
geometriske spørgsmål kan besvares ud fra undersøgelser af denne ring.
Altså idealteori, entydig faktorisering m.m. i en polynomring har
geometriske konsekvenser.
Kurset vil indeholde følgende emner: affint rum og affine varieteter,
Hilberts Nullsetllensatz, dimension af en affin varietet, projektivt rum og
projektive varieteter, grad af en kurve, tangenter og glathed af kurver,
Bezouts snitsætning, divisorer og genus, Riemann-Roch sætningen.
Der er en vigtig oversættelse fra geometrien af en kompleks glat
projektiv algebraisk kurve til teorien for legemsudvidelser af legemet af komplekse
rationale funktioner. Dette gør algebraiske kurver til samlingspunkt
for geometri, analyse og algebra.
Forudsætninger Algebra 1.
Litteratur Noter.
ECTS-point 10